оглавление

2. Основные рекуррентные формулы.

Перепишем уравнение для τ : x²-x-1=0 в виде: x²=x+1 , подставим туда τ и, почленно умножив на τ ^n-2 , получим:

τ ⁿ= τ ^n-1+ τ ^n-2 (**)

С использованием этой формулы выводятся некоторые важные свойства Золотой Пропорции (и особенно, как будет показано в дальнейшем, основные свойства квадрата Золотой Пропорции τ ² , который, по-видимому, является вполне самодостаточной константой.)

Пожалуй, самые красивые формулы для З.П., вытекающие из (**) при n=1 и n=2 - следующие:

n=1 : τ ^-1= τ - 1

n=2 : τ = τ ² – 1

То есть, для наглядности:

τ ^-1 = 0,61803…..

τ = 1,61803…..

τ ² = 2,61803…..

Понятно, что З.С. – единственное число, обладающее такими свойствами.

Отвлечемся от числа τ и выведем формулу для квадратов чисел Фибоначчи.

Введем матрицу:

Q =	1	1
	1	0

Заметим, что det Q = -1 .

Возведем матрицу в n – ую степень. Получим:

Q^n =	Fn+1	Fn
	Fn	Fn-1

Где F_n – числа Фибоначчи.

Отсюда det (Q ⁿ) = -F_n² + F_n-1*F_n+1 = (det Q) ⁿ = (-1) ⁿ ,

т.е. F_n-1*F_n+1 - F_n² = (-1) ⁿ .

То есть квадрат любого числа Фибоначчи отличается от произведения предыдущего и последующего членов последовательности ровно на единицу!

далее