оглавление

 

2. Основные рекуррентные формулы.

 

Перепишем уравнение для τ : x2-x-1=0 в виде: x2=x+1 , подставим туда τ и, почленно умножив на τ n-2 , получим:

τ n= τ n-1+ τ n-2 (**)

С использованием этой формулы выводятся некоторые важные свойства Золотой Пропорции (и особенно, как будет показано в дальнейшем, основные свойства квадрата Золотой Пропорции τ 2 , который, по-видимому, является вполне самодостаточной константой.)

 

Пожалуй, самые красивые формулы для З.П., вытекающие из (**) при n=1 и n=2 - следующие:

n=1 : τ -1= τ - 1

n=2 : τ = τ 2 – 1

То есть, для наглядности:

τ -1 = 0,61803…..

τ = 1,61803…..

τ 2 = 2,61803…..

Понятно, что З.С. – единственное число, обладающее такими свойствами.

 

 

Отвлечемся от числа τ и выведем формулу для квадратов чисел Фибоначчи.

Введем матрицу:

Q =

1

1

1

0

 

 

 

Заметим, что det Q = -1 .

Возведем матрицу в nую степень. Получим:

Q n =

Fn+1

Fn

Fn

Fn-1

Где Fn – числа Фибоначчи.

Отсюда det (Q n) = -Fn2 + Fn-1*Fn+1 = (det Q) n = (-1) n ,

т.е. Fn-1*Fn+1 - Fn2 = (-1) n .

То есть квадрат любого числа Фибоначчи отличается от произведения предыдущего и последующего членов последовательности ровно на единицу!

 

далее